Question

20．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\sqrt{13}$，且（2+3i）z（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，求z．

Answer 1

分析 設(shè)z=x+yi（x、y∈R），由已知可得關(guān)于x，y的方程組，求解方程組得答案．

解答 解：設(shè)z=x+yi（x、y∈R），∵$|z|=\sqrt{13}$，∴x²+y²=13，
而（2+3i）z=（2+3i）（x+yi）=（2x-3y）+（3x+2y）i，
又∵（2+3i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，
∴2x-3y=0，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=13}\\{x=\frac{3}{2}y\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-2\end{array}\right.$．
即z=±（3+2i）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．