Question

27、求證：1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ=（3n+2）•2^n-1．

Answer 1

分析：由題意知本題是一個(gè)證明題，在證明過(guò)程中，注意觀察所給的等式的左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，出現(xiàn)可以應(yīng)用倒序相加的運(yùn)算，再等式兩邊同除以2，得到要證明的結(jié)論成立．

解答：證明：設(shè)S=1+4C_n¹+7C_n²+10C_n³+…+（3n+1）C_nⁿ，①
則S=（3n+1）C_nⁿ+（3n-2）C_n^n-1+…+4C_n¹+1．②
①②兩式相加，
得2S=（3n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（3n+2）•2ⁿ，
∴S_n=（3n+2）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合與組合數(shù)的公式和性質(zhì)，要用到等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)的方法，倒序相加，解題時(shí)注意觀察等式的特點(diǎn)，分析清楚題目的發(fā)展方向．