【題目】如圖,在三棱錐中,,,,,.
(1)證明:平面平面;
(2)已知為棱上一點,若,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取AC中點O,連結SO,BO,則SO=BO=1,且BO⊥AC,從而SO⊥BO,進而BO⊥平面SAC,由此能證明平面SAC⊥平面ABC;
(2)由D為棱SC上一點,四面體ABCD的體積為,過D作DE⊥AC,交AC于E,能求出點D到平面ABC的距離為DE,從而CE,進而AE=2.由此能求出線段AD的長.
(1)在三棱錐S﹣ABC中,SA⊥SC,AB⊥BC,AB=BC,SB=,AC=2,∠SAC=30°.
取AC中點O,連結SO,BO,則SO=BO=1,且BO⊥AC,∴SO2+BO2=SB2,∴SO⊥BO,
∵SO∩AC=O,∴BO⊥平面SAC,∵BO平面ABC,∴平面SAC⊥平面ABC.
(2)D為棱SC上一點,四面體ABCD的體積為,
=1,
過D作DE⊥AC,交AC于E,則點D到平面ABC的距離為DE=h,
則VABCD===,
解得DE=h=,∴CE==,∴AE=2﹣=.
∴線段AD的長為:AD===.
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【題目】圖1是一個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,至第七個疊放的圖形中,小正方體木塊總數就是( )
A. 25B. 66C. 91D. 120
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【題目】設橢圓的右焦點為,右頂點為.已知,其中為原點, 為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程及離心率的值;
(2)設過點的直線與橢圓交于點(不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點.若,且,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數列,且
C. , , 依次成公比為的等比數列,且
D. , , 依次成公比為的等比數列,且
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【題目】(本小題滿分12分)已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為軸,焦點為,拋物線上一點的橫坐標為,且.
(Ⅰ)求此拋物線的方程;
(Ⅱ)過點做直線交拋物線于兩點,求證:.
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【題目】如圖,在三棱臺ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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