已知函數(shù)fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）．
（Ⅰ）求函數(shù)f3（x）的極值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)fn（x）在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給予證明．
【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f3（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由單調(diào)性分析極值；
（Ⅱ）由可知函數(shù)fn（x）在區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)fn（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f3（x）取得極小值-3，無極大值；
（Ⅱ）函數(shù)fn（x）在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
證明：
∵，
，
，∴函數(shù)fn（x）在區(qū)間上必定存在零點(diǎn)．
∵，∴當(dāng)時(shí)，，
∴fn（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)fn（x）在區(qū)間上的零點(diǎn)最多一個(gè)．
綜上知：函數(shù)fn（x）在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查了零點(diǎn)存在性定理，單調(diào)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上滿足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上有唯一零點(diǎn)，是中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f3（x）-F2（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求證：fn（x）≥nx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）．
（Ⅰ）求函數(shù)f3（x）的極值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)fn（x）在區(qū)間(
n
，
n+1
)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給予證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)fn（x）=1+x+x2+…+xn（n∈N*）．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別求函數(shù)fn（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，關(guān)于x的方程ln(x+1)=-
5
2
x+m+f(x)-1在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：對任意的正整數(shù)n，不等式ln
n+1
n
＜
n+1
n2
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年湖南省長沙一中高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)fn（x）=（1+x）n-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f3（x）-F2（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求證：fn（x）≥nx．

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