Question

已知函數(shù)f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，（n∈N*，且n＞1）．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f₃（x）-F₂（x），x∈[-2，0]，求h（x）的最大值和最小值．
（2）若x＞-2求證：f_n（x）≥nx．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值，然后當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間，得到函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最小值為g（0）=0，即可得證．

解答：解：（1）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，x∈[0，2]
∴h'（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或x=-

1

3

，

∴h（x）在（-2，-1），（-

1

3

，0）上單調(diào)遞增，在（-1，-

1

3

）上單調(diào)遞減，過(guò)點(diǎn)（0，0）．
∴x∈[-2.0]時(shí)，f（x）_max=f（-1）=f（10）=0．f（x）_min=f（-2）=-2

（2）令g（x）=f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx．
則g'（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]，
∴當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）_min=g（0）=0，即g（0）≥g（x）_min=0，
∴f_n（x）≥nx．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力，是一道中等題．