Question

11．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與x軸、y軸的正半軸相交于A、B，過橢圓上一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F₁，OP∥AB．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）線段PB的垂直平分線與y軸相交于C，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OB}$，求λ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，設(shè)P（-c，y₀）（c是橢圓的半焦距），代入橢圓方程得${y_0}=\frac{b^2}{a}$．由OP∥AB，得$\frac{y_0}{c}=\frac{a}$，代入化簡，再利用a²=b²+c²及其離心率計(jì)算公式夾角得出．
（II）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)可得C，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意，設(shè)P（-c，y₀）（c是橢圓的半焦距），
代入橢圓方程$\frac{c^2}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，得${y_0}=\frac{b^2}{a}$（負(fù)值舍去），
由OP∥AB，得$\frac{y_0}{c}=\frac{a}$，代入化簡得b=c，
∴$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}=\sqrt{2}c$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OB}$得C（0，λb），
由|PC|=|BC|，得${c^2}+{（{y_0}-λb）^2}={（λ-1）^2}{b^2}$，
由（Ⅰ）得${y_0}=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，從而${b^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-λ）^2}{b^2}={（λ-1）^2}{b^2}$，即$1+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-λ）^2}={（λ-1）^2}$，
解得，$λ=-\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行線與斜率的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．