Question

14．已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（x₀，y₀）是拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)為直線(xiàn)l．
（1）若直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)Q，求證：FQ⊥l；
（2）作平行于l的直線(xiàn)L交拋物線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，記點(diǎn)F到l、L的距離分別為d、D，若D=2d，求線(xiàn)段MN中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$）的切線(xiàn)的斜率k，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，得到Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出FQ的斜率，由k_FQ×k=-1可得FQ⊥l；
（2）由（1）可設(shè)直線(xiàn)L的方程為y=$\frac{{x}_{0}}{p}x+b$，求得d，得到D=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$．再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得D=$\frac{|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}}$=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，求出b，得到直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為（x′，y′），利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得線(xiàn)段MN中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 （1）證明：由題意可知：拋物線(xiàn)C：x²=2py的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），準(zhǔn)線(xiàn)為：y=-$\frac{p}{2}$，
過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$），作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，
則切線(xiàn)的斜率k=$y′{丨}_{x={x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$，
切線(xiàn)方程為：y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$（x-x₀），交x軸于Q（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0），
則直線(xiàn)FQ的斜率k_FQ=$\frac{\frac{p}{2}-0}{0-\frac{{x}_{0}}{2}}$=-$\frac{p}{{x}_{0}}$，
∵k_FQ×k=-1，∴FQ⊥l；
（2）解：由（1）可設(shè)直線(xiàn)L的方程為y=$\frac{{x}_{0}}{p}x+b$，
∵d=$\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+（\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，∴D=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$．
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得D=$\frac{|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}}$=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，
整理得：$|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|={p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，
∴$-\frac{{p}^{2}}{2}+b=±（{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）$，則b=$\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}$或b=$-\frac{{p}^{2}}{2}-{{x}_{0}}^{2}$（舍）．
∴直線(xiàn)L的方程為$y=\frac{{x}_{0}}{p}x+\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=\frac{{x}_{0}}{p}x+\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+2{x}_{0}x+3{p}^{3}+2p{{x}_{0}}^{2}=0$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為（x′，y′），
則$x′=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-{x}_{0}$，$y′=-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}+\frac{3}{2}{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，
消去x₀，得$y′=\frac{p-1}{p}（x′）^{2}+\frac{3}{2}{p}^{2}$．
∴線(xiàn)段MN中點(diǎn)的軌跡方程為$y=\frac{p-1}{p}{x}^{2}+\frac{3}{2}{p}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．