Question

16．已知函數(shù)f（x）=ln（me^x+ne^-x）+m為偶函數(shù)，且f（0）=2+ln4，則m=2，不等式f（x）≤f（m+n）的解集為{x|-4≤x≤4}．

Answer 1

分析 首先利用偶函數(shù)的定義結(jié)合x=0時的函數(shù)值求得實數(shù)m，n的值，然后結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可求得不等式的解集．

解答 解：因為函數(shù)f（x）=ln（me^x+ne^-x）+m為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即ln（me^-x+ne^x）+m=ln（me^x+ne^-x）+m，所以m=n．
據(jù)此可得：f（0）=ln（2m）+m=2+ln4，則m=2．
f（x）≤f（m+n）=f（4），
即ln[2（e^x+e^-x）]+2≤ln[2（e⁴+e^-4）]+2，
e^x+e^-x≤e⁴+e^-4，
令g（x）=e^x+e^-x，則g（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，g（x）單調(diào)遞減，
若g（x）≤g（4），|x|≤4，解得-4≤x≤4，
即所求不等式的解集為{x|-4≤x≤4}．
故答案為：2；{x|-4≤x≤4}．

點評 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．