Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=9，a₅=243．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=

an，(n為偶數(shù)) log3an (n為奇數(shù))

求數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知

a5

a2

=q3，列出方程即可求出q的值，利用

a2

q

=a1即可求出a₁的值，即可得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先根據(jù)所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式分偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；再分組求和即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍₂=9，a₅=243．
∴

a5

a2

=

243

9

=q3=27，解得q=3．
又a₁=

a2

q

=

9

3

=3．
所以：通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）因?yàn)榈缺葦?shù)列{a_n}，所以偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首相為a₂=9，公比為3²=9的等比數(shù)列．
因?yàn)?log3a2k+1-log3a2k-1=log32•32k-log32•32k-2=log3

2•32k

2•32k-2

=2（k∈N），
所以 奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
S₁₀₀=b₁+b₂+…+b₉₉+b₁₀₀=（log₃a₁+log₃a₃+…+log₃a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）=(50×1+

50×49

2

×2)+

9(1-950)

1-9

=

1

8

•951+2498

7

8

所以數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)的和是

1

8

•951+2498

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．