Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$（a，b為常數(shù)），且方程f（x）-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=3，x₂=4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜kx在x∈（0，1）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）＜x+m在x∈（0，1）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得關(guān)于a，b的方程組，求出a，b即可．
（2）分離參數(shù)k＞-$\frac{x}{x-2}$在x∈（0，1）時(shí)恒成立，求最大值即可；
（3）分離參數(shù)，換元求最大值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）依已知條件可知方程f（x）-x+12=0即為$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0，
因?yàn)閤₁=3，x₂=4是上述方程的解，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{3a+b}-3+12=0}\\{\frac{16}{4a+b}-4+12=0}\end{array}\right.$，解得a=-2．b=2，
所以函數(shù)的解析式為f（x）=-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜kx在x∈（0，1）時(shí)恒成立，
所以k＞-$\frac{x}{x-2}$在x∈（0，1）時(shí)恒成立，
所以k≥1；
（3）關(guān)于x的不等式f（x）＜x+m在x∈（0，1）時(shí)恒成立，
所以m＞-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$-x在x∈（0，1）時(shí)恒成立，
令2-x=t（t∈（1，2），y=2（t+$\frac{2}{t}$）-6在（1，$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{2}$，2）上單調(diào)遞增，
所以4$\sqrt{2}$-6≤y＜0，
所以m≥0．

點(diǎn)評(píng) 用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是一種常用的，重要的方法，是基本技能，求參數(shù)的范圍，利用分離參數(shù)法是常用方法．