Question

已知函數f（x）=lg（x²+ax+1）
（1）若f（x）定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）值域為R，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）值域為[-2，+∞），求實數a的值；
（4）若函數f（x）在區(qū)間（-∞，2]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）只需判別式小于0即可；
（2）只需真數取遍所有正數即可；
（3）值域為[-2，+∞），說明-2是函數值，依此可得真數的最小值，進一步列出方程求a；
（4）一是考慮原式有意義，二是考慮對稱軸與2的關系．

解答： 解：（1）要使定義域為R，只需x²+ax+1＞0恒成立，所以判別式a²-4＜0，解得-2＜a＜2；
（2）要使值域為R，只需真數x²+ax+1取遍所有正實數，則應有a²-4≥0，解得a≥2或a≤-2．
（3）令t=x²+ax+1=（x+

a

2

）²+1-

a2

4

，因為原函數的值域為[-2，+∞），所以lg(1-

a2

4

)=-2，即1-

a2

4

=10-2，解得a=±

3 11

5

．
（4）由題意，要使原函數在（-∞，2]上遞減，只需函數t=x²+ax+1在（-∞，2]上遞減，且t（2）＞0，
即

- a 2 ≥2 4+2a+1＞0

，無解．

點評：本題考查復合函數的定義域、值域、單調性的求法，涉及到不等式恒成立的問題．屬于基礎題，難度不大．