Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中點．
（Ⅰ）若θ=60°，求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求θ的值，使二面角P-CD-A的平面角最�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)CD⊥AD，PA⊥CD．從而得到CD⊥AE．由此能證明AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出要使α最小，則cosα最大，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)θ=60°時，
∵AD∥BC，AB=AD=2BC=2．
∴CD⊥AD．
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
又PA=AD，E是棱PD的中點，
∴PD⊥AE．
∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．（7分）
（Ⅱ）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則P（0，0，2），B（2sinθ，2cosθ，0），
C（2sinθ，2cosθ+1，0），D（0，2，0）．
∴

DP

=(0，-2，2)、

DC

=(2sinθ，2cosθ-1，0)．
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n ⊥ DP n ⊥ DC

⇒

-2y+2z=0 (2sinθ)x+(2cosθ-1)y=0

，
取y=1，得

n

=(

2cosθ-1

2sinθ

，1，1)．
又平面ABCD的法向量為

m

=(0，0，1)．
設(shè)二面角P-CD-A的平面角為α，
則cosα=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

( 2cosθ-1 2sinθ )2+2

，
要使α最小，則cosα最大，即

2cosθ-1

2sinθ

=0，
∴cosθ=

1

2

，得θ=

π

3

．（8分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查使二面角最小的角θ的值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．