如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分別是PB，CD的中點．
（Ⅰ）證明：PB⊥面AEF
（Ⅱ）求二面角A-PE-F的大�。�
考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（I）由等腰三角形性質(zhì)得PB⊥AE，由線面垂直得AF⊥PB，由此能證明PB⊥平面 AEF．
（II）由已知條件得∠AEF是二面角A-PE-F的平面角，由此能求出二面角A-PE-F的大�。�
解答： 解：（I）證明：∵PA=AB，E是PB的中點，∴PB⊥AE，
∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是等邊三角形，（1分）
∵F是CD的中點，∴AF⊥CD，
∵AB∥CD，∴AF⊥AB，（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AF，
AF∩PA=A，∴AF⊥面PAB，（3分）
PB?面PAB，∴AF⊥PB，（4分）
∵AE∩PA=A，∴PB⊥平面 AEF．（5分）
（II）由（I）知，∠AEF是二面角A-PE-F的平面角，（7分）
設(shè)AB=a，則AE=
2
2
a，AF=
3
2
a，（9分）
在Rt△AEF中，tan∠AEF=
6
2
，
二面角A-PE-F的大小為arctan
6
2
．（10分）
點評：本題考查直線與平面的垂直，考查二面角的在小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sin2C+
3
cos（A+B）=0．
（1）若a=4，c=
13
，求b的長；
（2）若C＞A，A=60°，AB=5，求
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+5+
-x2-2x+4
，求其值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐C-ABD中，AC⊥CB，AC=CB，E為AB的中點，AD=DE=EC=2，CD=2
2
．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直線BD與平面CAD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中點．
（Ⅰ）若θ=60°，求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求θ的值，使二面角P-CD-A的平面角最小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，直線l：y=-x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，CC1=2，AC1與平面BCC1B1所成角為30°，AB⊥平面BB1C1C．
（I）求證：BC⊥AC1；
（Ⅱ）求二面角C-AC1-B1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=
2
．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD．
（2）求PD與平面PAB所成角正切值．
（3）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓周上的點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2
2
，AC=2，PA=2，求二面角C-PB-A的度數(shù)．

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同步練習(xí)冊答案