Question

數(shù)列{a_n}中，S_n是前n項的和，且S_n=2a_n-3n
（1）求a_n
（2）{a_n}中是否存在三項，使它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=2a_n-3n，可以得到a_n=2a_n-1+3，構(gòu)造數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式，求得a_n+3，即可求得a_n；
（2）假設(shè)存在，寫出三項，又知三項成等差數(shù)列，用等差中項驗證，推出矛盾，得到結(jié)論不存在三項構(gòu)成等差數(shù)列．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-3n，
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
∴S_n-S_n-1=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，即a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
∴

an+3

an-1+3

=2（n≥2），
又a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
∴數(shù)列{a_n+3}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-3；
（2）設(shè)存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，
∴2a_p=a_s+a_r，
∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，
∴2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數(shù)，
又∵1+2^r-s為奇數(shù)，
∴2^p+1=2^s+2^r不成立，
∴不存在滿足條件的三項，
故{a_n}中不存在三項，使它們構(gòu)成等差數(shù)列．

點評：本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，以及構(gòu)造新數(shù)列求通項公式．求數(shù)列通項公式常見的方法有：利用等差等比數(shù)列的通項公式，利用S_n與a_n的關(guān)系，迭加法，迭乘法，構(gòu)造新數(shù)列．根據(jù)具體的條件判斷該選用什么方法求解．屬于中檔題．