Question

如圖，四棱錐P-ABCD，△PAB≌△CBA，在它的俯視圖ABCD中，BC=CD，AD=1，∠BCD=∠BAD=60°．
（1）求證：△PBC是直角三角形；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證明：△PBC是直角三角形，我們可以根據(jù)，△PAB≌△CBA，BC=CD，AD=1，∠BCD=∠BAD=60結(jié)合線面垂直的定義，得到BC⊥PB即可；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積，我們可以根據(jù)已知，分別得到PA為棱錐的高，底面ABCD的面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）由已知，點(diǎn)P底面ABCD上B投影是點(diǎn)A，所以PA⊥ABCD（2分）
因?yàn)锳B、BC?ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC（3分）
因?yàn)椤鱌AB≌△CBA，所以∠ABC=∠BAP=90°，AB⊥BC（5分）
因?yàn)镻A∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，（6分）
所以BC⊥PB，△PBC是直角三角形（7分）
（2）連接BD，因?yàn)锽C=CD，∠BCD=60°，所以△BCD是等邊三角形（8分）
在△ABD中，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理計(jì)算得∠ADB=90°（9分）
又因?yàn)椤螧AD=60°，所以BD=

3

AD=

3

所以S△ABD=

3

2

，S△BCD=

3

4

BD2=

3 3

4

，（11分）
所以S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=

5 3

4

（12分）
又PA=BC=BD=

3

，
所以，四棱錐P-ABCD的體積
V=

1

3

•PA•SABCD=

1

3

•

3

•

5 3

4

=

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積及棱錐的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握特殊三角形（等邊、直角、等腰等）中所隱含的垂直條件，分析棱錐中高，底面積等關(guān)鍵幾何量，是解答本題的關(guān)鍵．