Question

1．在平面直角坐標系xOy中，若曲線f（x）=sinx+$\sqrt{3}$acosx（a為常數(shù)）在點（$\frac{π}{3}$，f（$\frac{π}{3}$））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，則a的值為-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值．

解答 解：f（x）=sinx+$\sqrt{3}$acosx的導數(shù)為f′（x）=cosx-$\sqrt{3}$asinx，
在點（$\frac{π}{3}$，f（$\frac{π}{3}$））處的切線斜率為cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$asin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$a，
由切線與直線2x+3y+1=0垂直，
可得$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$a=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{2}{3}$．
故答案為：-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．