Question

設函數f（x）=x³+bx²+cx+d，已知不論α，β為何實數，恒有f′（cosα-1）≥0且f′（2+2sinβ）≤0，且方程f（x）=0有三個根x₁，x₂，2．
（1）求c的值；
（2）求證：b≤-6，且f（1）≥11；
（3）求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由正余弦函數的值域，把滿足不論α，β為何實數，恒有f'（cosα-1）≥0，f'（2+2sinβ）≤0轉化為原函數的導函數大于0和小于0的區(qū)間范圍，從而得到原函數在x=0處的導數等于0，進一步求得c的值；
（2）由f'（4）小于等于0證出b≤-6，由2是方程f（x）=0的一個根得到b和d的關系，把f（1）化為含有b的代數式，由b得范圍求得f（1）的范圍；
（3）把函數f（x）的系數都用b代替，因式分解后得到關于x的一元二次方程，由根與系數的關系得到兩根x₁，x₂的和與積，然后代入|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2求解|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：（1）解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，得f′（x）=3x²+2bx+c，
∵cosα，sinβ的變化范圍是[-1，1]，
不論α，β為何實數，恒有f'（cosα-1）≥0，f'（2+2sinβ）≤0，
等價于當x∈[-2，0]時，f'（x）≥0，當x∈[0，4]，f'（x）≤0，
∴f'（0）=0=c，即c=0；
（2）證明：由（1）知，f'（4）=48+8b≤0，b≤-6，
∵2是方程f（x）=0的一個根，
∴f（2）=8+4b+d=0，4b+d=-8，
∴f（1）=1+b+d=1+b-8-4b=-7-3b≥-7+18=11；
（3）解：由f（x）=x³+bx²+cx+d
=x³+bx²-4b-8=（x-2）（x²+2x+4）+b（x-2）（x+2）
=（x-2）[x²+（b+2）x+2（b+2）]，
x₁，x₂是x²+（b+2）x+2（b+2）=0的根，
∴x₁+x₂=-b-2，x₁x₂=2（b+2），
∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2
=（-b-2）²-8（b+2）=（b+2）（b-6）
=（b-2）²-16．
∵b-2≤-8，
∴|x1-x2|2≥64-16=48，
∴|x1-x2|≥4

3

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點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數單調性的性質，訓練了函數的零點與方程的根之間的關系的應用，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，是有一定難度題目．