Question

【題目】已知函數(shù) .
（Ⅰ）若函數(shù) 有極值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng) 有兩個(gè)極值點(diǎn)（記為 和 ）時(shí)，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得 ，且有

在方程 中，

①當(dāng) ，即 時(shí)， 恒成立

此時(shí) 在 上單調(diào)遞增，∴函數(shù) 無(wú)極值；

②當(dāng) ，即 時(shí)，方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

，

且∵ ，∴

∵當(dāng) 或 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，

∴函數(shù) 在 上單調(diào)遞減

在 和 上單調(diào)遞增.

∴函數(shù) 存在極值

綜上得：當(dāng)函數(shù) 存在極值時(shí)，實(shí)數(shù) 的取值范圍是

（Ⅱ）∵ ， 是 的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程

即 ， 是 的兩個(gè)解，∴

∵

而在 中，

欲證原不等式成立，只需證明

∵ ，只需證明 成立

即證 成立

令 ，則

當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減；

因此 ，故 ，即 成立得證

【解析】（1）對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，得到含參導(dǎo)方程，討論方程實(shí)根得到有極值時(shí)參數(shù)a的范圍。
（2）證明與極值點(diǎn)有關(guān)的不等式，利用極值點(diǎn)是導(dǎo)方程的實(shí)根，將a消去從而將不等式轉(zhuǎn)化為不含a的不等式，再通過(guò)求導(dǎo)用單調(diào)性結(jié)合最值證明所得不等式。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．