(1)已知函數(shù)f(x)滿足2xf(x)-3f(x)-x2+1=0,求f(x)的表達(dá)式;

(2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f(x)=2f()+x,求f(x)的表達(dá)式.

思路分析:題(1)可看成是關(guān)于f(x)的方程,通過解方程可解得f(x)的表達(dá)式;題(2)應(yīng)注意到等式f(x)=2f()+x,一方面此等式反映出f(x)與f()之間的等量關(guān)系,這種等量關(guān)系可看作是關(guān)于f(x)與f()的方程;另一方面此等式是對(duì)(0,+∞)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立,故將此等式中的x換成后,相應(yīng)的等式也應(yīng)該成立,從而可通過列方程組求解.

解:(1)∵2xf(x)-3f(x)-x2+1=0,∴(2x-3)f(x)=x2-1.

又∵x=時(shí),方程左邊=-+1=-≠0,

∴x=時(shí),f(x)無意義.當(dāng)x≠時(shí),f(x)=.

(2)∵x≥0時(shí),有f(x)=2f()+x,                                           ①

而x≥0時(shí), ≥0,∴f()=2f(x)+ .      　　　         　　�、�

①②聯(lián)立解得f(x)=-為所求.

說明:方程及方程思想是初等數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,利用解方程或方程思想去解決數(shù)學(xué)問題是我們常用的綠色通道.本題要注意等式f(x)=2f()+x是個(gè)恒等式,一方面要明確它反映出f(x)與f()之間的等量關(guān)系即方程,另一方面要注意f(x)與f()中的x與是互為倒數(shù)的關(guān)系.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

1已知函數(shù)f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)，g(x)=2
b(1+x2)
，a，b∈R，且g（0）=2，f(
3
)=2-
3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列性質(zhì)：①h（x+2）=-h（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；②當(dāng)0≤x≤1時(shí)h(x)=
1
2
[-f(x)+log2g(x)]．
（�。┣螽�(dāng)-1≤x＜3時(shí)，函數(shù)h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-
1
2
在區(qū)間[0，2012]上的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b),a、b∈R,且f(2)=p,f(3)=q,求f(36)的值;

(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

仔細(xì)閱讀下面問題的解法：

    設(shè)A=[0, 1],若不等式21-x-a＞0在A上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

    解：由已知可得  a ＜ 21-x

        令f(x)= 21-x ,∵不等式a ＜21-x在A上有解,

        ∴a ＜f(x)在A上的最大值.

        又f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，f(x)max =f(0)=2.  ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜2.

研究學(xué)習(xí)以上問題的解法，請(qǐng)解決下面的問題：

(1)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1)，求f(x)的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域A；

(2)對(duì)于(1)中的A，設(shè)g(x)=，x∈A,試判斷g(x)的單調(diào)性(寫明理由，不必證明)；

(3)若B ={x|＞2x+a–5}，且對(duì)于(1)中的A，A∩B≠F，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)函數(shù)的圖象奇偶性、周期性專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

若函數(shù)f(x)對(duì)定義域中任意x均滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則稱函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．

(1)已知函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)已知函數(shù)g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)＝x2＋ax＋1，求函數(shù)g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的條件下，當(dāng)t＞0時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(－∞，0)，恒有g(shù)(x)＜f(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（新課標(biāo)全國(guó)卷）解析版（文） 題型：選擇題

 [番茄花園1] 已知函數(shù)f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，則abc的取值范圍是

（A）（1，10）  （B）(5，6)  （C）(10，12)  （D）(20，24)

 

 

二填空題：本大題共4小題，每小題5分。

 

 [番茄花園1]1.

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