Question

【題目】已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件:

①對任意都有;

②當(dāng)時,有，

（1）求，并證明函數(shù)在上是奇函數(shù)；

（2）驗證函數(shù)是否滿足這些條件；

（3）若，試求函數(shù)的零點.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）見解析（3）.

【解析】試題分析：

（1）對選取特殊值驗證可得結(jié)論．（2）求出函數(shù)的定義域，然后對條件①②分別進行驗證可得函數(shù)滿足這些條件．（3）根據(jù)單調(diào)性的定義和函數(shù)為奇函數(shù)可證得在上單調(diào)遞減，由得故，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，可求得為函數(shù)的零點．

試題解析：

（1）令x=y=0，則

∴．

令，則

∴，

所以函數(shù)在（－1，1）上是奇函數(shù).

（2）由得，所以函數(shù)的定義域為（-1，1）．

① ．

②時， ，

∴ ，

∴．

故函數(shù)是滿足這些條件.

（3）設(shè)，

則

∵,

∴,,

由條件②知，

∴，

∴,

故在(-1,0)上為減函數(shù)．

由奇函數(shù)性質(zhì)可知, 在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù).

∴在(-1,1)上單調(diào)遞減．

，

．

由得

∴，

整理得

解得，

又，

．

故函數(shù)的零點為．