Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=；數(shù)列滿足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9項和為153
（1）{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，c_n=，求使不等式T對?n∈N₊都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴當n=1時，a₁=S₁=6；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1==n+5
經(jīng)驗證，當n=1時，上式也適合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴，
∴{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．
則解得，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n==
=
∴T_n=（1）+（）+（）+…+（）=1
∵n∈N₊，∴T_n是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴當n=1時，（T_n）_min=T₁=1-=
∴對?n∈N₊都成立，等價于（T_n）_min成立，
即，解得k＜38
∴所求最大正整數(shù)k的值為37．
分析：（1）由可知，當n=1時，a₁=S₁=6；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+5，可得{a_n}的通項，又由已知可得，即{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．有可解得，可得通項；
（2）把（1）的結(jié)果代入可得，由列項相消法可得T_n，進而可求得T_n的最小值，只需其最小值（T_n）_min成立即可，解之可得．
點評：本題為數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，涉及求數(shù)列的通項，數(shù)列的求和以及恒成立問題，屬中檔題．