Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²．
（1）若曲線f（x）的一條切線的斜率是2，求切點的坐標；
（2）求在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（3）求過點（1，-2）處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設切點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為f′（t）=2，從而可求出切點坐標；
（2）先求出k=f′（-1）的值，得到切線的斜率，再求出切點坐標，最后根據(jù)點斜式求出直線方程即可．
（3）求出原函數(shù)的導函數(shù)，設出切點坐標，表示出切線方程，將（1，-2）代入切線方程，求出切點坐標，從而求出切線方程即可．

解答 解：（1）設切點坐標為（t，t²），
根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為f′（t）=2t=2，解得t=1，
∴切點坐標為（1，1）；
（2）∵f′（x）=2x，
∴k=f′（-1）=-2，
而f（-1）=1，則切點為（-1，1），
∴切線方程為y-1=-2[x-（-1）]，即2x+y+1=0．
（3）由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
設切點坐標是（a，a²），
則f′（a）=2a，
故切線方程是：y-a²=2a（x-a），
將（1，-2）代入切線方程得：
-2-a²=2a（1-a），解得：a=1±$\sqrt{3}$，
故切線方程是：y=2（1+$\sqrt{3}$）x-（4+2$\sqrt{3}$）
或y=2（1-$\sqrt{3}$）x-（4-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及導數(shù)的幾何意義，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．