Question

6．在等比數列{a_n}中，
（1）a₄=27，q=-3，求a₇；
（2）a₂=18，a4=8，求a₁與q；
（3）a₅=4，a₇=6，求a₉；
（4）a₅-a₁=15，a₄-a₂=6，求a₅．

Answer 1

分析 根據等比數列的定義與通項公式，進行計算即可．

解答 解：（1）等比數列{a_n}中，a₄=27，q=-3，
∴a₇=a₄•q³=27×（-3）³=-729；
（2）等比數列{a_n}中，a₂=18，a₄=8，
∴q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=$\frac{8}{18}$=$\frac{4}{9}$，
∴q=±$\frac{2}{3}$；
當q=$\frac{2}{3}$時，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{18}{\frac{2}{3}}$=27，
當q=-$\frac{2}{3}$時，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{18}{-\frac{2}{3}}$=-27，
∴a₁=27，q=$\frac{2}{3}$或a₁=-27，q=-$\frac{2}{3}$；
（3）等比數列{a_n}中，a₅=4，a₇=6，
∴$\frac{{a}_{9}}{{a}_{7}}$=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{5}}$，
∴a₉=$\frac{{{a}_{7}}^{2}}{{a}_{5}}$=$\frac{{6}^{2}}{4}$=9；
（4）等比數列{a_n}中，a₅-a₁=15，a₄-a₂=6，
即$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}q}^{4}{-a}_{1}=15}\\{{{a}_{1}q}^{3}{-a}_{1}q=6}\end{array}\right.$，
兩式相除并化簡得，$\frac{{q}^{2}+1}{q}$=$\frac{5}{2}$，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$，
當q=2時，a₁=1，a₅=a₁q⁵=32，
當q=$\frac{1}{2}$時，a₁=-16，a₅=a₁q⁵=-$\frac{1}{2}$，
綜上，a₅=32或-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等比數列的定義與通項公式的應用問題，也考查了邏輯推理與計算能力，是基礎題目．