Question

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),各項(xiàng)為正,它所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍,且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第三項(xiàng)和第四項(xiàng)和的9倍,試問數(shù)列{lga_n}的前多少項(xiàng)和最大.

     

Answer 1

思路分析:欲求{lga_n}的前幾項(xiàng)和最大,只需先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n.由條件可設(shè)出基本量——首項(xiàng)和公比,再求出a_n,進(jìn)而求出lga_n,并判斷數(shù)列{lga_n}的類型,然后求出其前多少項(xiàng)和最大.

    解法一:設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁,公比為q,由題意有q≠1,從而

=4,

    即=1,

∴q=.

    又∵a₁q·a₁q³=9(a₁q²+a₁q³),

∴a₁=2²·3³,a_n=2²·3³·=.

∴l(xiāng)ga_n=2lg2-(n-4)lg3.

    當(dāng)n≥2時(shí),lga_n-lga_n-1=2lg2-(n-4)lg3-［2lg2-(n-5)lg3］=-lg3＜0,

∴數(shù)列{lga_n}是遞減的等差數(shù)列且lga₁=lg2²·3³＞0.

    設(shè)數(shù)列{lga_n}的前n項(xiàng)和最大,則有即

∴

    又∵1＜log₃4＜2且n∈N^*,

∴n=5,即數(shù)列{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.

    解法二:設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁,公比為q,項(xiàng)數(shù)為n,則

    解之,得q=,a₁=108.

∵lga_n+1-lga_n=lg(a₁qⁿ)-lg(a₁q^n-1)=lgq,

∴{lga_n}是首項(xiàng)為lga₁,公差為lgq的等差數(shù)列,

lga₁=2lg2+3lg3,d=lgq=lg=-lg3.

    據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有

S_n=［2lga₁+(n-1)d］

=［4lg2+6lg3+(n-1)(-lg3)］

=(4lg2+7lg3-nlg3)

=-［n²-(+7)n］,

∴當(dāng)n=(+7)≈5時(shí),S_n有最大值.也就是說,數(shù)列{lga_n}的前5項(xiàng)和最大.