Question

3．已知直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）．
（1）使判斷l(xiāng)與C的位置關(guān)系；
（2）若把曲線C₁上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，即可得解．
（2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₂任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．

解答 （本題滿分為10分）
解：（ I）$l：x-y-2=0，{C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，…（2分）
$d=\frac{{|{0-0-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}＞1$，
所以直線與曲線相離．…（5分）
（ II）變化后的曲線方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ.\end{array}\right.$
設(shè)點(diǎn)$P（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，…（7分）
則點(diǎn)到直線的距離是$d=\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{sin（\frac{π}{6}-θ）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$，
則最小距離是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化為普通方程，直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題是解本題的思路．