Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足$\frac{{\sqrt{2}c-a}}{cosA}=\frac{cosB}$，D是BC邊上的一點(diǎn)．
（Ⅰ） 求角B的大��；
（Ⅱ） 若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理化簡(jiǎn)可得角B的大��；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，求出∠ADC，在利用正弦定理即可求AB的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ） 由$\frac{{\sqrt{2}c-a}}{cosA}=\frac{cosB}$，
得$\sqrt{2}ccosB-acosB=bcosA$，即$\sqrt{2}ccosB=acosB+bcosA$，
根據(jù)正弦定理，$\sqrt{2}sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC$．
∴$cosB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又0°＜B＜180°，
∴B=45°．
（Ⅱ） 在△ADC中，AC=7，AD=5，DC=3，
由余弦定理得$cos∠ADC=\frac{{A{D^2}+D{C^2}-A{C^2}}}{2AD•DC}$=$\frac{{{5^2}+{3^2}-{7^2}}}{2×5×3}=-\frac{1}{2}$，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理，得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，
故得AB=$\frac{AD•sin∠ADB}{sinB}=\frac{5sin60°}{sin45°}=\frac{{5×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的正余弦定理和內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．