Question

10．已知sinθ與cosθ是方程6x²-5x+m=0的兩根，求m和sin³θ+cos³θ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：∵sinθ與cosθ是方程6x²-5x+m=0的兩根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{5}{6}$，sinθcosθ=$\frac{m}{6}$，
即（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{25}{36}$，
即1+$\frac{m}{3}$=$\frac{25}{36}$，
得m=$\frac{11}{12}$，即sinθcosθ=$\frac{m}{6}$=$\frac{11}{72}$，
則sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ+cos²θ-sinθcosθ）
=$\frac{5}{6}$×（1-$\frac{11}{72}$）=$\frac{5}{6}$×$\frac{61}{72}$=$\frac{305}{432}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求解，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系以及根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．