Question

已知關(guān)于x的方程x²lna-2x²+2=0，在區(qū)間（1，2）上僅有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=x²lna-2x²+2，若方程x²lna-2x²+2=0，在區(qū)間（1，2）上僅有一個根，則f（x）=x²lna-2x²+2在區(qū)間（1，2）上僅有一個零點(diǎn)，即f（1）f（2）＜0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：令f（x）=x²lna-2x²+2，
當(dāng)a=e²時，f（x）=2無零點(diǎn)，
當(dāng)a≠e²時，函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，
若方程x²lna-2x²+2=0，在區(qū)間（1，2）上僅有一個根，
則f（x）=x²lna-2x²+2在區(qū)間（1，2）上僅有一個零點(diǎn)，
則f（1）f（2）＜0，
即2lna（2lna-3）＜0，
故lna∈（0，

3

2

），
故a∈（1，e

3

2

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，其中熟練掌握方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．