Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，請(qǐng)考生任選2題作答，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．
（1）選修4-2：矩陣與變換曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣M=

1a b1

的作用下變換為曲線x²-2y²=1，求M的逆矩陣M^-1=

1 -2 0   1

．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），在曲線C₁求一點(diǎn)，使它到直線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數(shù)）的距離最小，最小距離

1

．
（3）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

．試求a的取值范圍

{a|a≥-3}

．

Answer 1

分析：（1）由detM=

.

1 2 0 1

.

=1，能求出M^-1．
（2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₁任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值，并求出此時(shí)θ的度數(shù)，即可確定出所求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

，知|x+1|+|x-2|+a≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵detM=

.

1 2 0 1

.

=1，
∴M^-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

．
故答案為：

1 -2 0 1

．
（2）將直線C₂化為普通方程得：x+y-1+2

2

=0，
設(shè)所求的點(diǎn)為P（1+cosθ，sinθ），
則P到直線C₂的距離d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

=|sin（θ+

π

4

）+2|，
當(dāng)θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

4

時(shí)，sin（θ+

π

4

）=-1，d取得最小值1，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-

2

2

，-

2

2

）．
故答案為：1．
（3）∵f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

，
∴|x+1|+|x-2|+a≥0，
∵|x+1|+|x-2|≥3，
∴a≥-3．
故答案為：{a|a≥-3}．

點(diǎn)評(píng)：第（1）題考查矩陣與變換的應(yīng)用，第（2）題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的應(yīng)用，第（3）題考查不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．