Question

已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，則實數(shù)a的取值范圍

（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：將問題轉(zhuǎn)化為f（x）=e^x-x+a＞0對一切實數(shù)x恒成立，求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，最小值大于0時a的范圍，即a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，
∴f（x）=e^x-x+a＞0對一切實數(shù)x恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∵f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，求得x=0，
當x＜0時，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
當x＞0時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x=0時，f（x）取得極小值即最小值為f（0）=1+a，
∴1+a＞0，
∴a＞-1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-1，+∞）．
故答案為：（-1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導數(shù)的正負對應著函數(shù)的單調(diào)性．考查了函數(shù)的恒成立問題，對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解．本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導函數(shù)對應方程的根，然后求出跟對應的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．