Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]的最大值和最小值．
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，并指出相應(yīng)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，則函數(shù)圖象開(kāi)口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸，求出a值，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]的最大值和最小值．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²+2ax+3的圖象開(kāi)口朝上，且以直線x=-a為對(duì)稱軸，若f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則-a≤-5，或-a≥5，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數(shù)，
故函數(shù)圖象開(kāi)口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸，
即-a=$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²-x+3，
在區(qū)間[-1，5]上，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\frac{11}{4}$，
當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取最大值23．
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+3的圖象開(kāi)口朝上，且以直線x=-a為對(duì)稱軸，
若f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
則-a≤-5，或-a≥5，
即a≤-5，或a≥5，
當(dāng)a≥5時(shí)，在[-5，5]上是增函數(shù)，
當(dāng)a≤-5時(shí)，在[-5，5]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．