Question

在（a-2b）ⁿ的展開式中，
（1）若n=10，求展開式的倒數(shù)第四項(xiàng)（要求將系數(shù)計(jì)算到具體數(shù)值）
（2）若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有5項(xiàng)，求n的值；
（3）若展開式中系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有五項(xiàng)，求n的值．

Answer 1

（1）（a-2b）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式（即第r+1項(xiàng)）是：T_r+1=C_n^ra^n-r（-2b）^r
n=10時(shí)，展開式共有11項(xiàng)，其倒數(shù)第四項(xiàng)即第八項(xiàng)．T₇₊₁=C₁₀⁷a^10-7（-2b）⁷=-15360a³b⁷
（2）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有5項(xiàng)，
一方面說明n≥4，5項(xiàng)存在．
另一方面說明展開式的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)也不超過6，即n≤6
當(dāng)n=4時(shí)，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，4，6，4，1，恰好有5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=5，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，5，10，10，5，1，沒有5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=6，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，6，15，20，15，6，1，沒有5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
所以，所求n的值等于4．
（3）展開式第r+1項(xiàng)的系數(shù)是C_n^r（-2）^r
展開式種的第一項(xiàng)系數(shù)等于1，不超過6；
要展開式有5項(xiàng)，n≥4
展開式種所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)，故偶數(shù)項(xiàng)不能超過4項(xiàng)，即n≤8
當(dāng)n=4時(shí)，各項(xiàng)的習(xí)俗分別是1，-8，24，-32，16，沒有5項(xiàng)系數(shù)不超過6．
類似地，n=5，n=6時(shí)，展開式種都沒有5項(xiàng)系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=7時(shí)，第1，2，4，6，8項(xiàng)的習(xí)俗不超過6．
當(dāng)n=8時(shí)，第1，2，4，6，8項(xiàng)的習(xí)俗不超過6．
所以，所求n的值等于7或者8．