Question

8．已知函數(shù)f（x）=-3x²+a（5-a）x+b．
（1）當(dāng)關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時，求實數(shù)a，b的值；
（2）若對任意實數(shù)a，不等式f（2）＜0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)b為常數(shù)，求關(guān)于a的不等式f（1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意并結(jié)合一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系，可得方程-3x²+a（5-a）x+b=0的兩根分別為-1和3，由此建立關(guān)于a、b的方程組并解之，即可得到實數(shù)a、b的值；
（2）由f（2）=-12+2a（5-a）+b＜0對任意實數(shù)a恒成立，得b＜2a²-10a+12對任意實數(shù)a恒成立，利用配方法求出不等式右邊二次三項式的最小值可得b的范圍；
（3）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，然后對△分類討論得到答案．

解答 解：（1）由不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），
得-3x²+a（5-a）x+b＞0的解集為（-1，3），
可得-1，3為方程-3x²+a（5-a）x+b=0的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a（5-a）}{3}=2}\\{-\frac{3}=-3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=9或a=3，b=9；
（2）由f（2）=-12+2a（5-a）+b＜0對任意實數(shù)a恒成立，
得b＜2a²-10a+12對任意實數(shù)a恒成立，
令g（a）=2a²-10a+12=$2（a-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{19}{2}≥\frac{19}{2}$，
∴b＜$\frac{19}{2}$．
∴實數(shù)b的取值范圍為（-∞，$\frac{19}{2}$）；
（3）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，
△=（-5）²-4（-b+3）=13+4b，
①當(dāng)△＜0，即b＜-$\frac{13}{4}$時，a∈R；
②當(dāng)△=0，即b=-$\frac{13}{4}$時，解集為{a|a≠$\frac{5}{2}$，a∈R}；
③當(dāng)△＞0，即b＞-$\frac{13}{4}$時，解集為{a|a＞$\frac{5+\sqrt{4b+13}}{2}$，或a＜$\frac{5-\sqrt{4b+13}}{2}$}．

點評 本題考查恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了一元二次不等式的應(yīng)用、一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系等知識，屬于中檔．