已知橢圓Γ：（a＞b＞0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過點F1斜率為正數(shù)的直線交Γ于A，B兩點，且AB⊥AF2，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列。
（1）求Γ的離心率；
（2）若直線y=kx（k＜0）與Γ交于C、D兩點，求使四邊形ABCD面積S最大時k的值。
解：（1）根據(jù)橢圓定義及已知條件，有
|AF2|+|AB|+|BF2|=4a ①
|AF2|+|BF2|=2|AB| ②
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2 ③
由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=a，|BF2|=a
所以點A為短軸端點，b=c=
Γ的離心率e==；
（2）由（1），Γ的方程為x2+2y2=a2
不妨設C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），
則C、D坐標滿足
由此得x1=，x2=
設C、D兩點到直線AB：的距離分別為d1、d2，
因C、D兩點在直線AB的異側(cè)，則
d1+d2==
===
∴
設t=1-k，則t＞1，
當，即時，最大，進而S有最大值。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1，O為坐標原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準線上，若
PQ
=2
F1O
，
F1Q
=λ(
F1P
|
F1P
|
+
F1O
|
F1O
|
)(λ＞0)則橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、
5
-1
2
D、
5
+1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點為F，點E(
a2
c
，0)在x軸上，若橢圓的離心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且
OA
+
OB
與向量
m
=(4，-
2
)共線（其中O為坐標原點），求證：
OA
與
OB
的夾角為
π
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，且點(1，
3
2
)在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A、B兩點，若∠AOB是直角，其中O是坐標原點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，且OA⊥OB，為坐標原點．
（Ⅰ）求
1
a2
+
1
b2
的值；
（Ⅱ）若橢圓長軸長的取值范圍是[
5
，
6
]，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右準線分別為l1、l2，且分 別交x軸于C、D兩點，從l1上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點F被x軸反射后與l2交于點B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，則橢圓的離心率等于（　　）
A、
6
-
2
2
B、
3
-1
C、
6
-
2
4
D、
3
-1
2

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