精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右準(zhǔn)線分別為l1、l2，且分 別交x軸于C、D兩點(diǎn)，從l1上一點(diǎn)A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F被x軸反射后與l2交于點(diǎn)B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，則橢圓的離心率等于（　�。�
A、
6
-
2
2
B、
3
-1
C、
6
-
2
4
D、
3
-1
2
分析：如圖所示，作法線FM交AB于點(diǎn)M，利用光線的反射性質(zhì)及∠AFB=90°，可得∠AFB=∠BFM=45°．進(jìn)而得到∠AFC=45°=∠BFD．于是得到Rt△ACF與Rt△BFD分別是等腰直角三角形．由于∠CAB=105°，可得∠BAF=60°．又|AF|=
2
|CF|，|BF|=
2
|FD|，及|BF|=
3
|AF|．即可得出橢圓的離心率．
解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
作法線FM交AB于點(diǎn)M，∵∠AFB=90°，∴∠AFB=∠BFM=45°．
∴∠AFC=45°，∠BFD=45°．
∴Rt△ACF與Rt△BFD分別是等腰直角三角形．
∴|AF|=
2
|CF|=
2
(
a2
c
-c)，|BF|=
2
|FD|=
2
|
a2
c
+c|．
∵∠CAB=105°，∴∠BAF=105°-45°=60°．
∴|BF|=
3
|AF|．
∴
2
|
a2
c
+c|=
3
•
2
|
a2
c
-c|，
化為(
3
-1)a2=(
3
+1)c2，解得
c
a
=
6
-
2
2
．
故選：A．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、光線的反射性質(zhì)、等腰直角三角形及含60°角的直角三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)且離心率為
6
3
，A、B是長軸的左右兩頂點(diǎn)，P為橢圓上意一點(diǎn)（除A，B外），PD⊥x軸于D，若
PQ
=λ
QD
，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P在C處時，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點(diǎn)H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
AF1
•
F1B
=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的一個長軸端點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)．當(dāng)MF2⊥F1F2時，原點(diǎn)O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上變化時，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點(diǎn)，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，當(dāng)OQ1⊥OQ2時，求r的值．（用b表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案