Question

（2010•淄博一模）設(shè)函數(shù)，f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x+m，令F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，x∈（1，+∞）時(shí)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得F（x）的圖象恒在x軸上方；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)F（x）在[1，3]上恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后討論a的正負(fù)，分別解不等式f（x）'＞0與f（x）'＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)F（x）的圖象恒在x軸上方等價(jià)于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，將a分離出來(lái)，然后研究另一側(cè)函數(shù)的最小值即可求出a的范圍；
（III）函數(shù)F（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=m，在[1，3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，然后利用導(dǎo)數(shù)研究y=x-2lnx在[1，3]的值域即可求出m的范圍．

解答：解：（I）由意知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
又f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

…（1分）
∴當(dāng)a＞0，由f（x）'＞0可得x＞

a 2

由f′(x)＜0可得0＜x＜

a 2

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

a 2

，+∞)，
單調(diào)減區(qū)間為(0，

a 2

)…（4分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）…（5分）
（II）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)F（x）的圖象恒在x軸上方等價(jià)于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
由m=0，F(xiàn)（x）＞0可得-alnx＞-x∵x∈（1，+∞）
則a＜

x

lnx

記?(x)=

x

lnx

，則F(x)＞0在(1，+∞)恒成立
等價(jià)于a＜?（x）_min（x∈（1，+∞））
又?′(x)=

lnx-1

ln2x

∴當(dāng)x∈（1，e）時(shí)；?'（x）＜0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，?'（x）＞0
故?（x）在x=e處取得極小值，
也是最小值，即?（x）_min=?（e）=e∴a＜e
故a的取值范圍是（-∞，e）．…（5分）
（III）函數(shù)F（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=m，
在[1，3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．
令h(x)=x-2lnx，則h′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，h'（x）＞0
故在[1，3]上h（x）_min=h（2）=2-ln2…（8分）
又h（1）=1，h（3）=3-2ln3∵h(yuǎn)（1）＞h（3）∴只需h（2）＜m≤h（3）
故m的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域、研究閉區(qū)間上的值域等有關(guān)問(wèn)題，是一道綜合題，屬于中檔題．