Question

在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心為（2，

π

2

），半徑為2，直線θ=α（0≤α≤

π

2

，ρ∈R）被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

3

，則α的值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：求得圓和直線的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)為2

3

，利用弦長(zhǎng)公式可得弦心距d=1，．再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得 d=1=

|0-2|

1+tan2α

，求得tanα 的值，結(jié)合α的范圍，求得α的值．

解答： 解：由題意可得圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），半徑為2，
故圓的直角坐標(biāo)方程為 x²+（y-2）²=4，直線的直角坐標(biāo)方程為y=tanαx．
再根據(jù)弦長(zhǎng)為2

3

，可得弦心距d=

4-3

=1．
再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得 d=1=

|0-2|

1+tan2α

，tanα=±

3

，
結(jié)合0≤α≤

π

2

，可得α=

π

3

，
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．