Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中、為已知實常數(shù)，.

下列所有正確命題的序號是____________．　

①若，則對任意實數(shù)恒成立；

②若，則函數(shù)為奇函數(shù)；

③若，則函數(shù)為偶函數(shù)；

④當時，若，則.

Answer 1

【答案】①②③④.

【解析】

對于①，由，證明函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)即可得出；

對于②，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得出結(jié)論；

對于③，根據(jù)偶函數(shù)的定義進行判斷即可得出結(jié)論；

對于④，根據(jù)得

，于此得出結(jié)論.

對于命題①，若，則，

則

，

函數(shù)為奇函數(shù)，

若，則

，

，

函數(shù)為偶函數(shù)，

若，則函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，即，命題①正確；

對于命題②，由①的證明過程可知，當時，函數(shù)為奇函數(shù)，命題①正確；

對于命題③，由①的證明過程可知，當時，函數(shù)為偶函數(shù)，命題②正確；

對于命題④，當時，

，

令，

，則，

由輔助角公式得，

其中，，

，則、是函數(shù)的兩個對稱中心點，

函數(shù)的最小正周期為，該函數(shù)的兩個相鄰對稱中心之間的距離為周期的一半，

因此，，命題④正確.

故答案為：①②③④.