【題目】已知圓:
.
(Ⅰ)求過點的圓
的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)圓與
軸相交于
,
兩點,點
為圓
上異于
,
的任意一點,直線
,
分別與直線
交于
,
兩點.
(�。┊旤c的坐標為
時,求以
為直徑的圓的圓心坐標及半徑
;
(ⅱ)當點在圓
上運動時,以
為直徑的圓
被
軸截得的弦長是否為定值?請說明理由.
【答案】(Ⅰ)或
;(Ⅱ)(ⅰ)圓心為
,半徑
;(ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先判斷在圓
外, 所以圓
過點
的切線有兩條.再由斜率是否存在分別討論.(Ⅱ)(�。┰O(shè)直線PA和PB把其與直線
交于
,
兩點表示出來,寫出圓的方程化簡即可.(ⅱ)先求出以
為直徑的圓
被
軸截得的弦長,在設(shè)出PA和PB的直線方程,分別求出與直線
的交點,求出圓心,再根據(jù)勾股定理易求解.
(Ⅰ)因為點在圓
外, 所以圓
過點
的切線有兩條.
當直線的斜率不存在時,直線方程為,滿足條件.
當直線的斜率存在時,可設(shè)為,即
.
由圓心到切線的距離,解得
. 此時切線方程為
.
綜上,圓的切線方程為
或
.
(Ⅱ)因為圓與
軸相交于
,
兩點,所以
,
.
(�。┊旤c坐標為
時,直線
的斜率為
,直線
的方程為
.
直線與直線
的交點坐標為
,
同理直線的斜率為
,直線
的方程為
.
直線與直線
的交點坐標為
. 所以以
為直徑的圓的圓心為
,半徑
.
(ⅱ)以為直徑的圓
被
軸截得的弦長為定值
.
設(shè)點,
則
.
直線的斜率為
,直線
的方程為
.
直線與直線
的交點坐標為
.
同理直線的斜率為
,直線
的方程為
.
直線與直線
的交點坐標為
.
所以圓的圓心,半徑為
.
方法一:圓被軸截得的弦長為
.
所以以為直徑的圓
被
軸截得的弦長為定值
.
方法二:圓的方程為.
令,解得
.
所以.
所以圓與軸的交點坐標分別為
,
.
所以以為直徑的圓
被
軸截得的弦長為定值
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以
軸為始邊做兩個銳角
,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為
(1)求的值; (2)求
的值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,單位圓
上存在兩點
,滿足
均與
軸垂直,設(shè)
與
的面積之和記為
.
若
,求
的值;
若對任意的
,存在
,使得
成立,且實數(shù)
使得數(shù)列
為遞增數(shù)列,其中
求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax﹣(1+a2)x2 , 其中a>0,區(qū)間I={x|f(x)>0}
(1)求I的長度(注:區(qū)間(a,β)的長度定義為β﹣α);
(2)給定常數(shù)k∈(0,1),當1﹣k≤a≤1+k時,求I長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)過曲線上任意一點處的切線為
,總存在過曲線
上一點處的切線
,使得
,則實數(shù)
的取值范圍為_____________________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當用水超過4噸時,超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費y元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù);
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為矩形,
面
,
為
的中點。
(1)證明: 平面
;
(2)設(shè),
,三棱錐
的體積
,求A到平面PBC的距離。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為
,求實數(shù)
的值;
(2)在(1)的條件下,若存在實數(shù)使
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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