【題目】已知圓

(Ⅰ)求過點的圓的切線方程;

(Ⅱ)設(shè)圓軸相交于,兩點,點為圓上異于,的任意一點,直線,分別與直線交于兩點.

(。┊(dāng)點的坐標(biāo)為時,求以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)及半徑;

(ⅱ)當(dāng)點在圓上運(yùn)動時,以為直徑的圓軸截得的弦長是否為定值?請說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(。﹫A心為,半徑;(ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)先判斷在圓外, 所以圓過點的切線有兩條.再由斜率是否存在分別討論.(Ⅱ)(。┰O(shè)直線PA和PB把其與直線交于,兩點表示出來,寫出圓的方程化簡即可.(ⅱ)先求出以為直徑的圓軸截得的弦長,在設(shè)出PA和PB的直線方程,分別求出與直線的交點,求出圓心,再根據(jù)勾股定理易求解.

(Ⅰ)因為點在圓外, 所以圓過點的切線有兩條.

當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為,滿足條件.

當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)為,即

由圓心到切線的距離,解得. 此時切線方程為

綜上,圓的切線方程為

(Ⅱ)因為圓軸相交于,兩點,所以,

(。┊(dāng)點坐標(biāo)為時,直線的斜率為,直線的方程為

直線與直線的交點坐標(biāo)為 ,

同理直線的斜率為,直線的方程為

直線與直線的交點坐標(biāo)為. 所以以為直徑的圓的圓心為,半徑

(ⅱ)以為直徑的圓軸截得的弦長為定值

設(shè)點,

直線的斜率為,直線的方程為

直線與直線的交點坐標(biāo)為

同理直線的斜率為,直線的方程為

直線與直線的交點坐標(biāo)為

所以圓的圓心,半徑為

方法一:圓被軸截得的弦長為

所以以為直徑的圓軸截得的弦長為定值

方法二:圓的方程為

,解得

所以

所以圓與軸的交點坐標(biāo)分別為,

所以以為直徑的圓軸截得的弦長為定值

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