Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3，離心率為
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m（|k|≤）與橢圓C相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且=，其中P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由已知橢圓的經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3，離心率為，求得a，b，從而寫(xiě)出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先對(duì)k 分類(lèi)討論：當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±，所以|OP|=；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|OP|的取值范圍，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（I）∵橢圓的經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3，離心率為
∴，=
∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±，
所以|OP|=
當(dāng)k≠0時(shí)，則由，消y化簡(jiǎn)整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③
設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x，y），
則x=x₁+x₂=-，y=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=．
由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以．
從而+=1，化簡(jiǎn)得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足③式．
又|OP|===
因?yàn)?＜|k|≤，得3＜4k²+3≤4，有≤＜1，
故＜|OP|≤．
綜上，所求|OP|的取值范圍是[，]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題．當(dāng)研究橢圓和直線(xiàn)的關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，�？衫�用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來(lái)解決．