已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;
(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且,求非零常數(shù)c;
(3)若(2)中的bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:
【答案】分析:(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得a3,a4,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求an
(2)代入等差數(shù)列的前n和公式可求sn,進(jìn)一步可得bn,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得2b2=b1+b3,從而可求c
(3)要證原不等式A>B?A>M,B<M,分別利用二次函數(shù)及均值不等式可證.℃
解答:解:(1)an為等差數(shù)列,a3•a4=117,a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個(gè)根,d>0
∴a3=9,a4=13

∴d=4,a1=1
∴an=1+(n-1)×4=4n-3
(2)由(1)知,

,,
∵bn是等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,
(c=0舍去),
(3)由(2)得,
2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4≥4,
但由于n=1時(shí)取等號(hào),從而等號(hào)取不到2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4>4,


n=3時(shí)取等號(hào)(15分)
(1)、(2)式中等號(hào)不能同時(shí)取到,所以
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用,及不等式的證明,在不等式的證明中又運(yùn)用了二次函數(shù)及均值不等式求函數(shù)的值域,是一道綜合性很好的試題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an
(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且bn=
Sn
n+c
,求非零常數(shù)c;
(3)若(2)中的bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:2Tn-3bn-1
64bn
(n+9)bn+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=
Snn+c
,求非零常數(shù)c.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知公差大于零的等差數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為Sn.且滿足a3a4=117,a2+a5=22.
(Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=
Sn
n-
1
2
,求f(n)=
bn
(n+36)bn+1
(n∈N*)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3•a4=117,a2+a5=22,
(1)求通項(xiàng)an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=
Snn+c
,是否存在非零實(shí)數(shù)c,使得{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出c的值,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•煙臺(tái)一模)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且滿足:a2•a4=65,a1+a5=18.
(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),求i的值;
(2)設(shè)bn=
n(2n+1)Sn
,是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn<m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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