(2013•煙臺(tái)一模)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且滿足:a2•a4=65,a1+a5=18.
(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),求i的值;
(2)設(shè)bn=
n(2n+1)Sn
,是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn<m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)先利用方程組思想,確定等差數(shù)列{an}的通項(xiàng),再利用1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),建立方程,即可求i的值;
(2)求得數(shù)列的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)法求和,即可求得m的值.
解答:解:(1)由題意,∵a2•a4=65,a1+a5=18.
∴(a1+d)(a1+3d)=65,a1+a1+4d=18.
∵d>0,∴d=4,a1=1
∴an=4n-3,
∵a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),
∴a1a21=ai2
∴1•81=(4i-3)2
∵1<i<21,∴i=3;
(2)由(1)可得Sn=n•1+
n(n-1)
2
•4=2n2-n

bn=
n
(2n+1)Sn
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1

∴b1+b2+…+bn=
1
2
1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
n
2n+1
=
1
2
-
1
2(2n+1)
1
2

∵b1+b2+…+bn<m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,
m=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的求和,確定數(shù)列的通項(xiàng),正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵.
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(2013•煙臺(tái)一模)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=3.若點(diǎn)(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=
1
3
x3+x2
-2的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
2
an+1an
,是否存在最小的正數(shù)M,使得對(duì)任意n∈N*都有b1+b2+…+bn<M成立?請(qǐng)說明理由.

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(2013•煙臺(tái)一模)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)
2-i
1+i
在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在( 。

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(2013•煙臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)=
2x-1,(x≤0)
f(x-1)+1,(x>0)
,把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( 。

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(2013•煙臺(tái)一模)若函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[-
π
3
,
π
4
]
上單調(diào)遞增,則ω的最大值等于( 。

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(2013•煙臺(tái)一模)從參加某次高三數(shù)學(xué)摸底考試的同學(xué)中,選取60名同學(xué)將其成績(百分制)(均為整數(shù))分成6組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問題.
(1)補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖,并估計(jì)本次考試的平均分;
(2)若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,抽到的學(xué)生成績?cè)赱40,70)記0分,在[70,100]記1分,用X表示抽取結(jié)束后的總記分,求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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