Question

已知A（x₁，y₁），B（1，y₀），C（x₂，y₂）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的三點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(

1

4

，0)．利用焦半徑公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可得ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），①若直線(xiàn)AC的斜率不存在，則不符合題意．②當(dāng)直線(xiàn)AC的斜率存在為k時(shí)，利用“點(diǎn)差法”可得

1

4

+

mk

3

=0，即mk=-

3

4

．可知k≠0．利用點(diǎn)斜式可得線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)方程為y-m=-

1

k

(x-1)，化為y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，把mk=-

3

4

代入即可證明．

解答：解：線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(

1

4

，0)．
下面給出證明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．
設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），若直線(xiàn)AC的斜率不存在，則不符合題意．
當(dāng)直線(xiàn)AC的斜率存在為k時(shí)，由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，相減可得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
∴

1

4

+

mk

3

=0，∴mk=-

3

4

．可知k≠0．
∵線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)方程為y-m=-

1

k

(x-1)，化為y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，
∴y=-

1

k

x+

1

4k

，即y=-

1

k

(x-

1

4

)，當(dāng)x=

1

4

時(shí)，y=0，
因此線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(

1

4

，0)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的焦半徑公式、等差數(shù)列的定義、分類(lèi)討論的思想方法、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等是解題的關(guān)鍵．