Question

已知函數(shù) ，.

（1）已知區(qū)間是不等式的解集的子集，求的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，在函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn) 、，若存在使得恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）將不等式在區(qū)間上恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)

中對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）將不等式進(jìn)行變形得到，構(gòu)造函數(shù)，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化在區(qū)間單調(diào)遞增來(lái)處理，得到，即，圍繞對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，通過(guò)逐步構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行求解，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）

①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)

由題意可知，即，；

②當(dāng)時(shí)，，解得：，

，；，，

故有：當(dāng)，即：時(shí)，即滿(mǎn)足題意

即，構(gòu)建函數(shù)，

，當(dāng)時(shí)為極大值點(diǎn)，有，

故不等式無(wú)解；

當(dāng)，即時(shí)，，即，

解得： ，；

當(dāng)，即時(shí)，，即，

解得：，；

綜上所述: ；

（2）由題意可知：，可設(shè)任意兩數(shù)，

若存在使得成立，即: ，

構(gòu)建函數(shù)：，為增函數(shù)即滿(mǎn)足題意，即恒成立即可

，構(gòu)建函數(shù)，,

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)

則不存在使得恒成立， 故不合題意；

當(dāng)時(shí)，，可解得；

當(dāng)時(shí)，可知，即為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

，由于存在使得該式恒成立，

即， 由（1）可知當(dāng)時(shí)，，

綜上所述的最大值為.

考點(diǎn)：1.分類(lèi)討論；2.構(gòu)造函數(shù)法