如圖，已知P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點，　
(Ⅰ)求證：EF∥平面PAD；　　
(Ⅱ)求證：EF⊥CD；　　
(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小。

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2a，BC=2b，PA=2c，
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），
D（0，2b，0），P（0，0，2c），
∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，
∴E（a，0，0），F(xiàn)（a，b，c），
（Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c），
=（0，2b，0），
∴，
∴與共面，
又∵平面PAD，
∴EF∥平面PAD。
（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），
∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0，
∴EF⊥CD；
（Ⅲ）若∠PDA=45°，則有2b=2c，即b=c，
∴=（0，b，b），=（0，0，2b），
∴，
∴=45°，
∵AP⊥平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，
∴EF與平面ABCD所成的角為
90°-=45°。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1在第一象限內(nèi)的任意一點，過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與y軸和x軸的平行線交于C，過P引BC、AC的平行線交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面積是S1，三角形PDE的面積是S2，則S1：S2=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）若PD與平面ABCD所成角為60°，且AD=2，AB=4，求點A到平面PED的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大�。�
（2）在線段AC上找一點P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點P的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平面α∩β=?，A，B∈α，C，D∈?，ABCD為矩形，P∈B，PA⊥α，且PA=AD，M、N、F依次是AB、PC、PD的中點．
（1）求證：四邊形AMNF為平行四邊形；
（2）求證：MN⊥AB
（3）求異面直線PA與MN所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2，BC=
2
，點E、F分別是邊AB、CD的中點，沿AF、EC分別把三角形ADF和三角形EBC折起，使得點D和點B重合，記重合后的位置為點P．
（1）求證：平面PCE⊥平面PCF；
（2）設(shè)M、N分別為棱PA、EC的中點，求直線MN與平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大�。�

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