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(本題滿分12分)設橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由。

(1)
(2)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且

解析試題分析:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,
所以解得所以橢圓E的方程為
(2)假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組,即,
則△=,即
,
 
要使,需使,即,所以,所以,
所以,所以,即,
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,此時圓的切線都滿足,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為滿足,
綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且
考點:本題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,圓與橢圓的位置關系。
點評:中檔題,涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題,往往要利用韋達定理。存在性問題,往往從假設存在出發(fā),運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備。(2)小題解答中,集合韋達定理,應用平面向量知識證明了圓的存在性。

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

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(1)求橢圓的方程;
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(1)若時,有,求橢圓的方程;
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(本小題滿分14分)
已知動圓P(圓心為點P)過定點A(1,0),且與直線相切。記動點P的軌跡為C。
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