Question

8．如圖是某幾何體的三視圖，當xy最大時，該幾何體的體積為（　　）

• A． 2$\sqrt{15}$+$\frac{{\sqrt{15}π}}{12}$
• B． 1+$\frac{π}{12}$
• C． $\sqrt{15}$+$\frac{{\sqrt{15}π}}{4}$
• D． 1+$\frac{{\sqrt{15}π}}{4}$

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個三棱柱和一個四分之一的圓錐組合而成的幾何體．該幾何體的體積等于分別求的體積之和．設高為h，利用h把x，y的關系建立起來，在利用基本不等式就最值，確定h的值．

解答 解：由題中的三視圖可知：該幾何體是一個三棱柱和一個四分之一的圓錐組合而成的幾何體．圓錐和棱柱的體積之和就是該幾何體棱的體積．
設高為h，半徑r=1，則有：1+h²=x²，h²+y²=31，消去h得：32=x²+y²≥2xy，那么：xy≤16．
當且僅當x=y=4時，xy取得最大值16．此時h=$\sqrt{15}$．
${V}_{圓錐}=\frac{1}{4}π{r}^{2}$h×$\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{12}π$
$V柱=Sh=\frac{1}{2}×4×\sqrt{15}×1=2\sqrt{15}$
${V}_{總}=\frac{\sqrt{15}}{12}π+2\sqrt{15}$
故選：A

點評 本題考查了三視圖的識圖能力，能通過三視圖準確知道該幾何體的組成．利用三視圖中的尺寸關系建立等式構造基本不等式是解題的關鍵．屬于中檔題．