Question

8．如圖是某幾何體的三視圖，當(dāng)xy最大時(shí)，該幾何體的體積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{15}$+$\frac{{\sqrt{15}π}}{12}$
• B． 1+$\frac{π}{12}$
• C． $\sqrt{15}$+$\frac{{\sqrt{15}π}}{4}$
• D． 1+$\frac{{\sqrt{15}π}}{4}$

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)三棱柱和一個(gè)四分之一的圓錐組合而成的幾何體．該幾何體的體積等于分別求的體積之和．設(shè)高為h，利用h把x，y的關(guān)系建立起來(lái)，在利用基本不等式就最值，確定h的值．

解答 解：由題中的三視圖可知：該幾何體是一個(gè)三棱柱和一個(gè)四分之一的圓錐組合而成的幾何體．圓錐和棱柱的體積之和就是該幾何體棱的體積．
設(shè)高為h，半徑r=1，則有：1+h²=x²，h²+y²=31，消去h得：32=x²+y²≥2xy，那么：xy≤16．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，xy取得最大值16．此時(shí)h=$\sqrt{15}$．
${V}_{圓錐}=\frac{1}{4}π{r}^{2}$h×$\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{12}π$
$V柱=Sh=\frac{1}{2}×4×\sqrt{15}×1=2\sqrt{15}$
${V}_{總}(cāng)=\frac{\sqrt{15}}{12}π+2\sqrt{15}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三視圖的識(shí)圖能力，能通過(guò)三視圖準(zhǔn)確知道該幾何體的組成．利用三視圖中的尺寸關(guān)系建立等式構(gòu)造基本不等式是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．