已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)斜率為k的直線l與圓(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
②求線段MN的中點(diǎn)軌跡方程;
③求證:
AM
AN
為定值;
④若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.
①過(guò)點(diǎn)A(0,1)斜率為k的直線l的方程為:y=kx+1,
當(dāng)直線l與圓相切時(shí),圓心(2,3)到直線l的距離d=
|2k-2|
1+k2
=r=1,化簡(jiǎn)得3k2-8k+3=0,解得:k=
7
3
,
因?yàn)橹本l與圓相交于M,N兩點(diǎn),所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為:
4-
7
3
<k<
4+
7
3
;
②把直線方程與圓方程聯(lián)立得
y=kx+1
(x-2)2+(y-3)2=1
,消去y得到(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1和x2為(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0的兩個(gè)根,
則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)x=
x1+x2
2
=
2(1+k)
1+k2
,同理消去x得到關(guān)于y的一元二次方程(1+k2)y2-(2+4k+6k2)y+12k2+4k+1=0,
得到縱坐標(biāo)y=
y1+y2
2
=
1+2k+3k2
1+k2
,
則線段MN的中點(diǎn)軌跡方程為:
x=
2(1+k)
1+k2
y=
1+2k+3k2
1+k2
;
AM
=(x1,y1-1),
AN
=(x2,y2-1),所以
AM
AN
=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2=7為常數(shù).
OM
ON
=x1x2+y1y2=
7
1+k2
+
12k2+4k+1
1+k2
=12,即12k2+4k+8=12(1+k2),解得k=1.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知過(guò)點(diǎn)A(0,1),且方向向量為
a
=(1,k)
的直線l與⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1,相交于M、N兩點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)求證:
AM
AN
=定值;
(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)斜率為k的直線l與圓(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
②求線段MN的中點(diǎn)軌跡方程;
③求證:
AM
AN
為定值;
④若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)的直線l,斜率為k,與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k取值范圍;
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)的直線l與拋物線C:y=x2交于M,N兩點(diǎn),又拋物線C在M,N兩點(diǎn)處的兩切線交于點(diǎn)B,M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2
(1)求x1x2的值;
(2)求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知過(guò)點(diǎn)A(0,1),B(4,a)且與x軸相切的圓只有一個(gè),求a的值及所對(duì)應(yīng)的圓的方程.

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