Question

如圖，CF是△ABC邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC，F(xiàn)Q⊥AC．
（1）證明：A、B、P、Q四點(diǎn)共圓；
（2）若CQ=4，AQ=1，PF=

4 5

3

，求CB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）證明∠QCF=∠QPF，利用同角的余角相等，可得∠A=∠CPQ，從而可得：四點(diǎn)A、B、P、Q共圓；
（2）根據(jù)根據(jù)射影定理可得：在Rt△CFA中，CF²=CQ•CA，進(jìn)而可求出CF長，利用勾股定理，解Rt△CFP，可求出CP，再在Rt△CFB中使用射影定理，可得答案．

解答： 證明：（1）連接QP，由已知C、P、F、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠QCF=∠QPF，
∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°，
∴∠A=∠CPQ，
∴四點(diǎn)A、B、P、Q共圓．…（5分）
解：（2）∵CQ=4，AQ=1，PF=

4 5

3

，
根據(jù)射影定理可得：在Rt△CFA中，
CF²=CQ•CA=4×（4+1）=20，
在Rt△CFP中，CP=

CF2-PF2

=

10

3

，
在Rt△CFB中，
CF²=CP•CB，
∴CB=6…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊形的證明，射影定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．