Question

已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點(diǎn)．

(1)求證：DE∥平面PFB；

(2)已知二面角P?BF?C的余弦值為，求四棱錐P?ABCD的體積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)因?yàn)?/span>E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點(diǎn)，所以BE綉FD，即BEDF為平行四邊形，

∴ED∥FB，∵FB?平面PFB，且ED?平面PFB，

∴DE∥平面PFB.

(2)以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖，設(shè)PD＝a，

可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．

則有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．

因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)．

設(shè)平面PFB的法向量為n＝(x，y，z)，

則可得即.，

令x＝1, 得z＝，y＝－，

所以n＝.

由已知二面角P-BF-C的余弦值為，

所以得cos〈m，n〉＝＝，

∴a＝2，∴VP－ABCD＝×2×2×2＝